什么是原码、反码和补码？

数值在计算机中是以补码的方式存储的，在探求为何计算机要使用补码之前， 让我们先了解原码， 反码和补码的概念。

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对于一个数， 计算机要使用一定的编码方式进行存储。 原码， 反码， 补码是计算机存储一个具体数字的编码方式。

一个数在计算机中的二进制表示形式， 叫做这个数的机器数。机器数是带符号的，在计算机用一个数的最高位存放符号， 正数为0， 负数为1。比如，十进制中的数 +2 ，计算机字长为8位，转换成二进制就是[00000010]。如果是 -2 ，就是 [10000010] 。因为第一位是符号位，所以机器数的形式值就不等于真正的数值。例如上面的有符号数 [10000010]，其最高位1代表负，其真正数值是 -2 而不是形式值130（[10000010]转换成十进制等于130）。所以将带符号位的机器数对应的真正数值称为机器数的真值。

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原码就是符号位加上真值的绝对值， 即用第一位表示符号， 其余位表示值。

反码的表示方法是:正数的反码是其本身；负数的反码是在其原码的基础上， 符号位不变，其余各个位取反。

👂🌧🦞🅰🐂‎补码的表示方法是:正数的补码就是其本身；负数的补码是在其原码的基础上， 符号位不变， 其余各位取反， 最后+1。 (即在反码的基础上+1)

现在我们知道计算机可以有三种编码方式表示一个数。对于正数因为三种编码方式的结果都相同:

[+1] = [00000001]原 = [00000001]反 = [00000001]补
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所以不需要过多解释. 但是对于负数:

[-1] = [10000001]原 = [11111110]反 = [11111111]补
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对于负数，可见原码, 反码和补码是完全不同的。

既然原码才是被人脑直接识别并用于计算表示方式, 为何还会有反码和补码呢?

首先, 因为人脑可以知道第一位是符号位, 在计算的时候我们会根据符号位, 选择对真值区域的加减。 但是对于计算机, 加减乘数已经是最基础的运算, 要设计的尽量简单。计算机辨别”符号位”显然会让计算机的基础电路设计变得十分复杂! 于是人们想出了将符号位也参与运算的方法。
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我们知道, 根据运算法则，减去一个正数等于加上一个负数, 即: 1-1 = 1 + (-1) = 0 , 所以机器可以只有加法而没有减法, 这样计算机运算的设计就更简单了。

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于是人们开始探索——将符号位参与运算, 并且只保留加法的方法。首先来看原码:

🦷🦼🍞🔞🐢‍计算十进制的表达式: 1 - 1 = 0

1 - 1 = 1 + (-1) = [00000001]原 + [10000001]原 = [10000010]原 = -2

如果用原码表示, 让符号位也参与计算, 显然对于减法来说, 结果是不正确的。这也就是为何计算机内部不使用原码表示一个数。

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为了解决原码做减法的问题, 出现了反码:

计算十进制的表达式: 1-1=0

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1 - 1 = 1 + (-1) = [0000 0001]原 + [1000 0001]原= [0000 0001]反 + [1111 1110]反 = [1111 1111]反 = [1000 0000]原 = -0

发现用反码计算减法, 结果的真值部分是正确的。而唯一的问题其实就出现在”0”这个特殊的数值上。 虽然人们理解上+0和-0是一样的, 但是0带符号是没有任何意义的。 而且会有[0000 0000]原和[1000 0000]原两个编码表示0

于是补码的出现, 解决了0的符号以及两个编码的问题:
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1-1 = 1 + (-1) = [0000 0001]原 + [1000 0001]原 = [0000 0001]补 + [1111 1111]补 = [0000 0000]补=[0000 0000]原

这样0用[0000 0000]表示, 而以前出现问题的-0则不存在了。而且可以用[1000 0000]表示-128:

👃🚘🥩🆎🦕‏(-1) + (-127) = [1000 0001]原 + [1111 1111]原 = [1111 1111]补 + [1000 0001]补 = [1000 0000]补

-1-127的结果应该是-128, 在用补码运算的结果中, [1000 0000]补 就是-128. 但是注意因为实际上是使用以前的-0的补码来表示-128, 所以-128并没有原码和反码表示。(对-128的补码表示[1000 0000]补算出来的原码是[0000 0000]原, 这是不正确的)

使用补码, 不仅仅修复了0的符号以及存在两个编码的问题, 而且还能够多表示一个最低数。 这就是为什么8位二进制, 使用原码或反码表示的范围为[-127, +127], 而使用补码表示的范围为[-128, 127]。👨‍⚕️‎🩰🎷😪🤝

因为机器使用补码, 所以对于编程中常用到的32位int类型, 可以表示范围是: [-231, 231-1] 因为第一位表示的是符号位。而使用补码表示时又可以多保存一个最小值。