编码的奥秘2_编码与组合

　　摩尔斯电码由萨缪尔·摩尔斯（1791·1872)发明。摩尔斯电码是随着电报机的发明而产生的，电报机我们以后也还要做详尽的说明。正如摩尔斯电码很好地说明了编码的本质一样，电报机也提供了理解计算机硬件的良好途径。


　　大多数人认为摩尔斯电码的发送易于接收，即使你没有记住摩尔斯电码，也可以方便地借助下面这张按字母顺序排列的表发送：

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　　接收摩尔斯电码并将其翻译回单词比发送费时费力多了，因为译码者必须反向地将已编码的"滴-嗒"序列与字母对应。例如，在确定接收到的字母是“Y"之前，必须按字母逐个地对照编码表。

　　问题是我们仅有_张提供"字母—摩尔斯电码"的编码表，而没有一张可供逆向查找的"摩尔斯电码—字母"译码表。在学习摩尔斯电码的初级阶段，这张译码表肯定会提供很大的便利。然而，如何构造译码表却毫无头绪，因为我们似乎无法找出这些按字母顺序排列的"滴-嗒"序列的规律。

🧠🌦🍏❎🦖‌　　那么忘记那些字母序列吧，也许按照码字中"滴""嗒"的个数来排列会是个更好的尝试。

　　例如，仅含一个"滴"或"嗒"的摩尔斯电码序列只可能代表E或T这两个字母之


👄🚠🫖❓🐝‏　　两个"滴"或"嗒"的组合则代表了4个字母I、A、N、M:


　　三个"滴"或"嗒"的序列代表了8个字母:

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　　最后（如果不考虑数字和标点符号的摩尔斯电码），四个"滴"或"嗒"的序列则共代表了16个字母：

　　四张表共包括2+4+8+16=30个编码，可与30个字母相对应，比拉丁字母所需的26个字母还多了4个。出于这个原因，在最后一张表中，你可能注意到有4个编码与重音字母相对应。

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　　在翻译别人发送的摩尔斯电码时，上面4张表提供了极大的便利。当你接收到_个代表特定字母的码字时，按其中含有的"滴""嗒"个数，至少可以跳到其对应的那张表中去查找。每张表中，全"滴"的字母排在左上角，全"嗒"的字母排在右下角。

　　你注意到4张表大小的规律了吗？每张表都怡好是其前一张表的两倍大小。这其中包含的意义是：前一张表的码字后加一个"滴"或加一个"嗒“，即构成了后一张表。
🧑‍🌾‏🥼🗑😇👍
　　可以按下面的方式总结这个有趣的规律：


　　四张表中每张码字数都是前_张的两倍，那么如果第一张表含2个码字，第二张表则含2X2个码字，第三张表2X2X2个码字。以下是另一种表达方式：

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　　当然，如果遇到数的自乘，可以用幂表示，例如2X2X2X2可以写成24。数字2、4、8、16分别是2的1、2、3、4次幂，因为可以用依次乘2的方法将它们计算出来。由此我们的总结还可以写成下面的方式：


　　这张表简单明了，码字数是2的次方，次方数目与码字中含有的"滴""嗒"数目相同。我们可以把表总结为一个简单的公式：👩‍✈️‌🎺🥱👍


　　很多编码中都用到2的幂，在下一章中我们会看到另一个例子。为了使译码的过程更为简便，可以画出如下一张树形图：

✋🌦🍪♾🐥‏

　　这张表表示出了由"滴"与"嗒"的连续序列得出的字母。译码时，按箭头所指从左到右进行。例如，你想知道电码"滴-嗒-滴"代表的字母，那么从最左边开始选择点，沿箭头向右选择划，接着又是点，得出对应的字母是R,它写在最后一个点的旁边。

　　如果认真考虑，会发现事先建立这样一张表是定义摩尔斯电码所必需的。首先，它保证了你不会犯给不同的字母相同码字的错误丨其次，它保证你使用了全部的可用码字，而没有使"滴"与"嗒"的序列毫无必要的冗长。

　　我们可以加长码字至5位或更长，5位长的码字又提供了额外的32(2X2X2X2X2或25)个码字。一般而言，这就足够10个数字和16个标点符号使用。实际上，摩尔斯电码中的数字确实是5位的，但在许多其他编码方式中，5位码字常用于重音字母而不是标点符号。👳‏👔🧲😪👃

　　为了包含所有的标点符号，系统必须扩充至6位表示，提供64个附加编码，此时系统可表示2+4+8+16+32+64共126个字符。这对摩尔斯电码而言太多了，以至于留下许多"未定义〃的码字。此处"未定义"指不代表任何意义的码字，如果在你接收的摩尔斯电码中有未定义的码字，就可以肯定发送方出了差错。

　　由于推出了下面这条公式：
👩‍✈️‏🥼💿😊🖕

　　我们就可以继续导出更长的码字位数所代表的码字数目。很幸运，我们不必为确定码字数目而写出所有可能的码字，我们所要做的不过是不断地乘2而已：
点划数        码字数


💅🦼🆘🦉‎　　摩尔斯电码被称为二元码（binary code),因为编码中仅含"滴"和"嗒"。这与一个硬币很相似，硬币着地时只可能是正面或反面。二元事物（例如硬币）、二元编码（例如摩尔斯电码）常常用2的乘方来描述。

　　上面所做的对二元编码的分析在数学上的_个分支一组合学或组合分析里只能算是一个简单的练习。传统上，由于组合分析能够用来确定事件出现的几率，例如硬币或骰子组合的数目，所以它常用于概率统计，但它也同样有助于我们理解编码的合成与分解。